多尺度法是为解决含小参数系统发展起来的应用最广泛的摄动法之一．在求解高阶近似方程时,多尺度法一般只求特解．用多尺度法求解van der Pol方程的三阶解时将出现矛盾．以van der Pol方程为例,证明了忽略一阶修正量中的一阶谐波项使得混合偏导数不能交换顺序,从而导致了多尺度法的二义性和另一个数学矛盾．在求解一阶修正最时采用含有一阶谐波项的全解,消除了二义性和该矛盾．该方法所求得的近似解与数值解进行了比较,结果非常吻合,验证了其合理性．
稳态响应如周期及准周期解的分岔计算,是非线性动力学研究的难点问题之一.与计算方法及分析理论相对完善的周期响应相比,准周期响应的求解只是在近些年才得到较大进展,而且其分岔分析更加棘手,仍需要更有效的理论和方法.目前,稳态响应尤其是准周期响应的分岔计算,一般需采用数值方法,通过调节参数反复试算得到.为此,本文基于增量谐波平衡IHB法提出一种快速方法,可以高效地确定准周期响应的对称破缺分岔点.方法的理论基础是在准周期解的广义谐波级数表达基础上,当响应发生对称破缺分岔时,其偶次(含零次)谐波系数将逐渐由0变为小量.基于此性质,将零次谐波系数预先设定为小量,同时将分岔控制参数视为可变的迭代变量,进而通过IHB法构造迭代格式.作为算例,研究不可约频率作用下的双频激励Duffing系统以及Duffing-van der Pol耦合系统.结果表明,只要迭代格式收敛,随着预设小量减小,控制参数将逐渐接近分岔近似值;同时,通过提高谐波截断数可显著提高近似分岔值的计算精度.所提方法无需反复试算,只要迭代过程收敛、便可实现分岔点直接快速计算.
