- 一道奥林匹克赛题的背景分析
- 2016年
- 第14届中国女子数学奥林匹克的第四题是一道关于数论和组合计数的问题.
题目 对每个正整数n,记g（n）为n与2015的最大公约数.求满足下列条件的有序三元数组（a,b,c）的个数：
（1）a、b、c∈{1,2,…,2 015};
（2）g（a）、g（b）、g（c）、g（a＋b）、g（b＋c）、g（c ＋a）、g（a＋b＋c）这七个数两两不同.
此题的一般形式为：
问题 设 M=p1p2…pn为n个不同素数的乘积,且素因子比较大,均大于某个待定的下界L,对每个整数r,记g（r）=（r,M）.考虑模M意义下的n元数组（a1,a2,…,an）,对每个{1,2,…,n}的子集产,相应的有一个部分和SI=∑i∈Iai.若所有2n个子集相应的2n个部分和的g值互不相同,试问：满足要求的n元数组（a1,a2,…,an）有多少个？
- 王彬付云皓
- 关键词：数学奥林匹克最大公约数组合计数正整数
